Paradoks Galileo
Waktunya
Kuis!! Kita akan mengambil bilangan bulat positif. Di antara
bilangan-bilangan bulat positif itu, ada yang merupakan kuadrat sempurna
(memiliki akar kuadrat yang bulat) semisal dalam rentang 1 – 100 ialah
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, dan 100, sedangkan sisanya bukan
kuadrat sempurna. Sekarang kita membahas seluruh bilangan yang ada.
Pertanyaannya:
1. Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurnya atau bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna?
2. Manakah yang lebih banyak, kuadrat sempurna atau bilangan bulat positif?
Oke, sudah punya jawaban?
Jika
kita lihat sekilas dalam rentang 1 – 100, hanya terdapat sepuluh
kuadrat sempurna dan sembilan puluh bilangan bulat yang bukan kuadrat
sempurna. Jika rentang ini diperbesar selebar apapun selama masih
berhingga akan tetap didapatkan jumlah bilangan kuadrat sempurna, nK, lebih kecil dibanding jumlah bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna, nBK.
Sekarang kita perhatikan korespondensi satu-satu pada bilangan bulat
positif, BP, terhadap bilangan kuadrat sempurna, K. Tiap elemen bilangan
bulat positif tepat memiliki satu pasangan pada himpunan bilangan
kuadrat sempurna. Dengan demikian, jumlah elemen bilangan bulat positif
haruslah tepat sama dengan jumlah elemen bilangan kuadrat sempurna, nBP = nK. Jadi soal nomor (2) sudah terjawab.
Sekarang,
perhatikan bahwa bilangan kuadrat sempurna dan bilangan bulat positif
non-kuadrat sempurna merupakan himpunan bagian dari bilangan positif,
sehingga
nBP = nK + nBK
padahal nBP = nK dan jelas nBK ≠ 0.
Jadi,
mungkinkah jumlah bilangan kuadrat sempurna lebih banyak daripada yang
bukan kuadrat sempurna? Bingung? Yang seperti ini selalu muncul jika
kita membahas infinity sets.
∞ + (100 × ∞) = ∞
0 Komentar untuk "Paradoks Galileo"